树状数组定义

树状数组$(Fenwick$ $Tree或Binary$ $Indexed$ $Tree)$
是一种高效的数据结构，用于动态维护前缀和或区间信息
其核心特点是通过二进制拆分优化单点更新和前缀查询操作
时间复杂度:$O(\log n)$

核心(函数)部分

• lowbit
  用于获取一个数二进制表示中最低位的1及其对应数值
  即按位与(&)

原理: 就是用x&-x补码表示，负数以补码形式存储
$补码=负数(二进制)取反+1$
当x与-x进行按位与操作时，会保留x的最低位的1，其余位均为0

int lowbit(int x){
	return x&-x;//按位与
}

• sum
  用于计算从数组起始位置(通常为1)到指定位置的前缀和
  即区间查询

原理: 树状数组通过lowbit函数将原数组的索引转换为二进制形式，利用最低有效位$(LSB)$的性质实现快速前缀和查询，每个节点存储的并非单点值，而是特定区间的部分和，通过叠加这些区间和得到最终结果

int sum(int x,int y[]){
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans+=y[i];
    return ans;
}//区间查询

• update(add)
  用于单点更新(修改)
  即单点修改

原理: 树状数组的核心思想是通过二进制低位技术Lowbit来高效更新和查询，每个节点存储的是一个区间的和，而非单个元素的值，add操作通过不断调整索引来更新所有相关的区间和

void add(int x,int y,int z[]){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        z[i]+=y;
}//单点修改

这里注意先后顺序，先写$lowbit$再写$sum,add$

例题展示

$传送门:$$点这里$

P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

• 将某一个数加上 $x$；

• 求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

• 1 x k 含义：将第 $x$ 个数加上 $k$；

• 2 x y 含义：输出区间 $[x,y]$ 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

输出 #1

14
16

说明/提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 8$，$1\le m\le 10$；
对于 $70\%$ 的数据，$1\le n,m\le 10^4$；
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 5\times 10^5$。

数据保证对于任意时刻，$a$ 的任意子区间（包括长度为 $1$ 和 $n$ 的子区间）和均在 $[-2^{31},2^{31})$ 范围内。

样例说明：

故输出结果 $14$ 和 $16$。

分析

看题目
输入内容较多，逐行分析：
【line1】输入数列长度及操作数量
【line2】输入数列初值
【line3~line3+m】输入选择(choose)
如果是1，那么输入$x,k$，使数列$tree[x]+=k;$
如果是2，那么输入$x,y$，输出数列$tree[x]到tree[y]的和$
思路解析
先看重点line3~line3+m
定义变量chose作为选择参数
判断
若为1则进行$add$操作
若为2则进行$sum$操作
根据上文的函数模板，很轻松就可以$AC(Accepted=通过)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,tree[5000005];
int lowbit(int x){
    return x&(-x);//按位与
}
int sum(int x,int y[]){
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans+=y[i];
    return ans;
}//区间查询
void add(int x,int y,int z[]){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        z[i]+=y;
}//单点修改
int main(){
    cin>>n>>m;//执行【line1】操作
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a;
        cin>>a;
        add(i,a,tree);
    }//执行【line2】操作,用add一个一个赋初值
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int chose;
        cin>>chose;//选择
        if(chose==1){//操作1
            int x,k;
            cin>>x>>k;
            add(x,k,tree);//修改/增加
        }else{//操作2
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            cout<<sum(y,tree)-sum(x-1,tree)<<endl;
            //输出x~y的区间和(即1~y的和减去1~x-1的和)
        }
    }
    return 0;
}

题单提供

$树状数组$其中也有二叉堆，有空讲

~ $完结撒花$ ~

附：例题和题单均来自$洛谷$
内容实战可参考上方题单
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