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Python np.random.multinomial 全面详解与实例

在 Python 数据分析和仿真中，我们经常会遇到多项分布（Multinomial Distribution）的采样需求，比如掷骰子统计各个点数出现次数、分类任务的类别计数等。numpy 提供了一个非常方便的函数——np.random.multinomial，可以直接完成这类任务。

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一、函数简介

np.random.multinomial(n, pvals, size=None)

参数说明

• n：试验总次数（非负整数）。
• pvals：概率向量（长度 $K$，非负且和为 1，可以有某些为 0）。
• size：可选，重复试验次数。如果设为 $m$，返回形状为 (m, K) 的二维数组。

返回值

• 长度为 $K$ 的整数数组，表示每个类别被抽到的次数，且总和等于 n。
• 如果指定 size，返回二维数组，每一行都是一次实验结果。

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二、数学原理

多项分布可以看作二项分布的推广：
假设有 $K$ 种可能的类别 $C_1,C_2,\dots ,C_K$，每次实验选择其中一个类别，且概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_K$，那么 $n$ 次实验的结果是一个长度为 $K$ 的计数向量：

$$X\sim \mathrm{Multinomial}(n,\mathbf{p})$$

• 期望：

$$\mathbb{E}[X_i]=n\cdot p_i$$

• 方差：

$$\mathrm{Var}(X_i)=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)$$

• 协方差：

$$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-n\cdot p_i\cdot p_j,i\ne j$$

当 $K=2$ 时，多项分布退化为二项分布。

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三、使用示例

1. 掷骰子 100 次

import numpy as np

np.random.seed(0)
counts = np.random.multinomial(100, [1/6] * 6)
print(counts)  # 每个点数的出现次数
print("总和:", counts.sum())

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2. 重复实验，观察均值

exp = np.random.multinomial(100, [1/6] * 6, size=1000)
print(exp.mean(axis=0))  # 应接近 100/6 ≈ 16.67

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3. n=1 时的 One-hot 抽样

one_hot = np.random.multinomial(1, [0.7, 0.2, 0.1])
print(one_hot)  # 类似 [1, 0, 0] 或 [0, 1, 0]

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4. 概率不归一化，手动归一

p = np.array([2, 1, 1], dtype=float)
p /= p.sum()
result = np.random.multinomial(20, p)
print(result)

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5. size 复用同一 pvals

P = np.array([[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]])
out = np.vstack([np.random.multinomial(50, p) for p in P])
print(out)

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四、常见问题（FAQ）

1. pvals 必须和为 1 吗？
   是的（允许微小浮点误差），否则会报错。

2. pvals 可以有 0 吗？
   可以，该类别的计数几乎总是 0。

3. size 和 n 的区别？

   • n 是一次实验的总次数。
   • size 是重复实验的次数。

4. 和 np.random.choice 的区别？

   • choice 返回的是样本序列。
   • multinomial 返回的是各类别的计数结果。

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五、小结

• np.random.multinomial 是模拟多类别实验（如掷骰子、抽签、分类统计）的利器。
• 使用时要保证概率向量 pvals 的和为 1。
• 返回的计数向量总和一定是 n。
• 当类别数为 2 时，相当于二项分布。

建议在新项目中使用 np.random.default_rng().multinomial()，以便获得更好的随机数可控性。

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