C++数据结构之红黑树
一.红黑树的概念与基本特征
1.红黑树的概念
红黑树是众多对二叉搜索树改良的版本之一。之前讲过的AVL树有很严格的平衡策略，因此在查询效率上红黑树略逊AVL树一筹（但时间复杂度是同一量级的），但也正是AVL树严格的平衡策略，导致在插入删除结点时需要频繁地进行旋转操作，在这一点上红黑树的效率更高。map/set底层就是使用红黑树实现的，并且它的应用也比AVL树更广泛一些，因此需要重点学习。
2.红黑树的基本特征
红黑树的规则要比AVL树更为复杂，需要同时满足以下四个条件：
1.它是一棵二叉搜索树(左<根<右)
2.根和叶子(这里指那些叶子的空位置)都是黑色(根叶黑)
3.不存在连续两个红色的结点(不红红)
4.任一结点到叶子的所有路径黑结点数量相同(黑相同)
3.红黑树的重要特性
1.我们一般将新插入的结点设置为红色，因为如果设置为黑色，则一定会违反黑相同的构建规则，而插入红色结点，不一定会引起规则错误，如果引起也相对比较方便进行调整。
2.最长路径和最短路径：由黑相同我们可知，不管任意一条路径上有多少红色结点，他们的黑色结点个数一定相同。最短路径就是尽可能地让红色结点少，以至于没有红色结点；最长路径及红色结点尽可能地多，且不违反不红红的规则，那就是一红一黑交叉排列，因此引出一个重要特性：最长路径一定不超过最短路径的两倍。
4.红黑树的效率
假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么2^(h-1)<=N<2^(2h)-1 , 由此推出 h约为logN，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径 ，那么时间复杂度还是O(logN)
红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。
二.红黑树的变色与旋转问题
1.情况1：变色
c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。
分析：因为p和u都是红⾊，g是⿊⾊，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，g再变红，相当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束了；如果g就是整棵树的根，再把g变回⿊⾊。
情况1只变⾊，不旋转。所以⽆论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上⾯的变⾊处理⽅式。
可以总结为：
1.插入结点的叔叔结点为红色，那么插入结点的叔叔，父亲结点变黑，爷爷结点变红，再检查爷爷结点是否违反了红黑树规则。
2.插入结点恰好为根结点，直接变为黑色即可。
2.情况2：变色加旋转
c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊。
如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进⾏右单旋，再以g为旋转点进⾏左单旋，再把c变⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则
可以总结为：插入结点的叔叔为黑色或不存在，先进行旋转(LL,RR,RL,LR)，再进行变色
如图是一个RL型，需要进行双旋+变色
旋转+变色后：
3.在实际实现时的一些重要细节
1.在插入结点的叔叔存在且为红时我们要进行变色，需要同时对他的父亲，爷爷，叔叔都变色。叔叔父亲变为黑色，爷爷变为红色。这时需要检查爷爷结点，若它为根则变黑结束，若它不为根检查爷爷的父亲结点，重复上述操作。
2.在插入结点的叔叔为黑色或者不存在时，我们需要进行旋转+变色。旋转的规则在讲AVL树时已经非常熟悉这里不再赘述，而变色时我们需要对插入结点的父亲变为黑色，爷爷变为红色。
三.红黑树的实现
1.红黑树的代码实现
红黑树的理论看起来相对AVL树复杂，实际上代码实现甚至更简单。我们使用一个枚举类型来封装红与黑两种颜色。
#pragma once
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
// 这里更新控制平衡也要加入parent指针
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
// 链接父亲
cur->_parent = parent;
// 父亲是红色，出现连续的红色节点，需要处理
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
// g
// p u
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
// 变色
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
// g
// u p
Node* uncle = grandfather->_left;
// 叔叔存在且为红，-》变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
{
// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
// 旋转+变色
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node * parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* pParent = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pParent->_left == parent)
{
pParent->_left = subL;
}
else
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent;
}
}
void RotateL(Node * parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
int Size()
{
return _Size(_root);
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
return false;
// 参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
}
private:
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum)
&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
int _Size(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
这里特别拿插入结点的逻辑进行说明
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
//先将插入结点的颜色设为红
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
// 链接父亲
cur->_parent = parent;
//至此与平衡二叉树的插入没有区别
//若此时父结点存在且为红，就需要进行处理
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
//这里在判断叔叔结点在哪个位置。实现此处逻辑下面不再赘述
//此时叔叔结点为爷爷的右结点
if (parent == grandfather->_left)
{
// g
// p u
Node* uncle = grandfather->_right;
//叔叔此时存在且为红色，只需要变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
// 叔叔和父亲变黑，爷爷变红
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
//此时叔叔不存在或者叔叔为黑，需要进行旋转+变色
else
{
//判断使用何种旋转，此处为LL，右旋+父亲和爷爷结点变色
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{ //此处为LR型。先对父亲进行左旋，再对爷爷进行右旋，最后cur+爷爷结点变色
// g
// p u
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
//此时叔叔为爷爷的左节点，逻辑同上
else
{
// g
// u p
Node* uncle = grandfather->_left;
// 叔叔存在且为红，->变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
{
// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
// 旋转+变色
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
//由于上面的变色可能会导致根节点为红，所以这里直接将根变黑即可
_root->_col = BLACK;
return true;
}
2.红黑树的验证
这⾥获取最⻓路径和最短路径，检查最⻓路径不超过最短路径的2倍是不可⾏的，因为就算满⾜这个条件，红⿊树也可能颜⾊不满⾜规则，当前暂时没出问题，后续继续插⼊还是会出问题的。所以我们还是去检查4点规则，满⾜这4点规则，⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。
1. 规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。
2. 规则2直接检查根即可
3. 规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。
4. 规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可。
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
// 前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在⿊⾊结点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 检查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲就⽅便多了
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红⾊结点" << endl;
return false;
}
if(root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum)
&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
return false;
// 参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
}
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