【贪心决策包容性】P12331 [蓝桥杯 2023 省 Java B] 最大开支|普及+

闻缺陷则喜何志丹

1367人浏览 · 2025-09-25 17:00:00

闻缺陷则喜何志丹 · 2025-09-25 17:00:00 发布

本文涉及知识点

C++贪心

P12331 [蓝桥杯 2023 省 Java B] 最大开支

题目描述

小蓝所在学校周边新开业了一家游乐园，小蓝作为班长，打算组织大家去游乐园玩。已知一共有 $N$ 个人参加这次活动，游乐园有 $M$ 个娱乐项目，每个项目都需要买门票后才可进去游玩。门票的价格并不是固定的，团购的人越多单价越便宜，当团购的人数大于某个阈值时，这些团购的人便可以免费进入项目进行游玩。这 $M$ 个娱乐项目是独立的，所以只有选择了同一个项目的人才可以参与这个项目的团购。第 $i$ 个项目的门票价格 $H_i(X)$ 与团购的人数 $X$ 的关系可以看作是一个函数：

$H_i(X) = \max(K_i \times X + B_i, 0)$

其中 $\max$ 表示取二者之中的最大值。当 $H_i = 0$ 时说明团购人数达到了此项目的免单阈值。

这 $N$ 个人可以根据自己的喜好选择 $M$ 个娱乐项目中的一种，或者有些人对这些娱乐项目都没有兴趣，也可以选择不去任何一个项目。每个人最多只会选择一个娱乐项目，如果多个人选择了同一个娱乐项目，那么他们都将享受对应的团购价格。小蓝想知道他至少需要准备多少钱，使得无论大家如何选择，他都有能力支付得起所有 $N$ 个人购买娱乐项目的门票钱。

输入格式

第一行两个整数 $N$ 、 $M$ ，分别表示参加活动的人数和娱乐项目的个数。接下来 $M$ 行，每行两个整数，其中第 $i$ 行为 $K_i$ 、 $B_i$ ，表示第 $i$ 个游乐地点的门票函数中的参数。

输出格式

一个整数，表示小蓝至少需要准备多少钱，使得大家无论如何选择项目，自己都支付得起。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 2
-4 10
-2 7

输出 #1

说明/提示

样例说明

样例中有 $4$ 个人， $2$ 个娱乐项目，我们用一个二元组 $(a, b)$ 表示 $a$ 个人选择了第一个娱乐项目， $b$ 个人选择了第二个娱乐项目，那么就有 $4 - a - b$ 个人没有选择任何项目，方案 $(a, b)$ 对应的门票花费为 $\max(-4 \times a + 10, 0) \times a + \max(-2 \times b + 7, 0) \times b$ ，所有的可能如下所示：

$a$	$b$	花费
0	0	0
0	1	5
0	2	6
0	3	3
0	4	0
1	0	6
1	1	11
1	2	12
1	3	9
2	0	4
2	1	9
2	2	10
3	0	0
3	1	5
4	0	0

其中当 $a = 1, b = 2$ 时花费最大，为 $12$ 。此时 $1$ 个人去第一个项目，所以第一个项目的单价为 $10 - 4 = 6$ ，在这个项目上的花费为 $\times 1 = 6$ ； $2$ 个人去第二个项目，所以第二个项目得单价为 $\times 2 = 3$ ，在这个项目上的花费为 $\times 3 = 6$ ；还有 $1$ 个人没去任何项目，不用统计；总花费为 $12$ ，这是花费最大的一种方案，所以答案为 $12$ 。

评测用例规模与约定

对于 $30\%$ 的评测用例， $\leq N, M \leq 10$ 。
对于 $50\%$ 的评测用例， $\leq N, M \leq 1000$ 。
对于 $100\%$ 的评测用例， $\leq N, M, B_i \leq 10^5$ ， $-10^5 \leq K_i < 0$ 。

P12331 [蓝桥杯 2023 省 Java B] 最大开支

令 $f_i(x)=H_i(x) \times x$ ,表示x人参加项目i的总费用。
某项目，暂时用f代替 $f_i$ 。x人变成x+1人，总费用的变化 $g (i, x) = f (x + 1) - f (x) = k (x + 1) (x + 1) + b x + b - (k xx + b x) = 2 k x + k + b$
性质一：g(i,x)<0，则i项目最多x-1人增加。因为：y > x，k < 0，则g(i,y)<g(i,x)。即g(i,x)单调递减。
如果i项目参加x人，则ans += g(i,z) , $z\in[0,x-1]$
初始：将g(i,0)放入大根堆中，g(i,0)出堆后，将g(i,1)入堆。出堆m次， $\leq 0时提前结束$ 。
本题不会陷入局部最优解。
某解存在(i1,x1)不存在(i2,x2)，且g(i2,x2) > g(i1,x1)。
如果此解不存在(i2,x2-1) x2–，不断迭代，直到x等于0或(i2,x2-1)存在。
求解中存在(i1,x)最大x，用(i2,x2)替换。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class Solution {
public:
	long long Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& kb) {
		priority_queue<pair<long long, int>> heap;
		for (const auto& [k, b] : kb) {
			heap.emplace(k + b, k);
		}
		long long ans = 0;
		for (int i = 0; (i < N) && (heap.top().first > 0); i++) {
			const auto [price, k] = heap.top(); heap.pop();
			ans += price;
			heap.emplace(price + 2LL * k, k);
		}
		return ans;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	
	int N,M;
	cin >> N >> M;
	auto kb = Read<pair<int, int>>(M);
#ifdef _DEBUG	
		printf("N=%d", N);
		Out(kb, ",kb=");
		//Out(P, ",P=");
		/*Out(edge, ",edge=");		
		Out(que, ",que=");*/
	   //Out(ab, ",ab=");
	   //Out(par, "par=");
	   //Out(que, "que=");
	   //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(N,kb);
	cout <<res;
	return 0;
};

单元测试

vector<pair<int, int>> kb;
		int N;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			N = 4, kb = { {-4,10},{-2,7} };
			auto res = Solution().Ans(N, kb);
			AssertEx(12LL, res);
		}

# 扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功成功+反思=成功