因为C++中的有符号整数通常采用“二进制补码”表示法，而这种方法使得负数的范围比正数的范围大1。

下面我们来详细解释一下。

1. 核心原因：二进制补码

现代计算机几乎 universally 使用 二进制补码 来表示有符号整数。这种表示法有以下几个关键点：

• 最高位是符号位：在16位整数中，最高位（第15位）为0表示正数，为1表示负数。

• 非负数的表示：和非负整数（包括0）的表示方式完全一样。

  • 0 表示为 0000 0000 0000 0000

  • 1 表示为 0000 0000 0000 0001

  • ...

  • 32767 表示为 0111 1111 1111 1111（这是最高位为0时能表示的最大值）

• 负数的表示：一个负数的补码是通过其对应正数的二进制表示“取反（所有位0变1，1变0）再加1”得到的。

  • 例如，求 -1 的表示：

    1. 1 的二进制： 0000 0000 0000 0001

    2. 取反： 1111 1111 1111 1110

    3. 加1： 1111 1111 1111 1111 -> 这就是 -1

  • 求 -32768 的表示：

    1. 32768 的二进制是 1000 0000 0000 0000（注意，这已经是一个17位的数了，对于16位系统，32768本身是无法直接表示的）。

    2. 这里有一个特殊情况。在16位补码中，模式 1000 0000 0000 0000 被直接定义为 -32768。

2. 数值范围的计算

一个16位的二进制数，总共有 2^16 = 65536 种不同的组合。

在补码规则下，这些组合被分配如下：

• 正数：从 0 到 32767。

  • 数量： 32768 个 (包括0)

• 负数：从 -1 到 -32768。

  • 数量： 32768 个

所以，总范围是 -32768 到 32767。

3. 为什么不能表示 +32768？

关键在于 0 占用了一个编码。如果我们试图表示 +32768，它的二进制应该是什么？

• 最大的正数 32767 的二进制是 0111 1111 1111 1111。

• 要得到 +32768，理论上需要将最高位变为1，即 1000 0000 0000 0000。

但是，在16位补码体系中，这个二进制模式 1000 0000 0000 0000 已经被规定为 -32768 了！

你可以验证一下补码的规则：

1. 如果 1000 ... 0000 是 +32768，那么它的补码（取反加一）应该是 -32768。

2. 对 1000 ... 0000 取反得到 0111 ... 1111。

3. 加1后得到 1000 ... 0000，也就是它自己。这会产生歧义。

为了避免这种歧义和简化硬件设计，补码标准直接定义这个模式为 -32768。因此，没有一个16位的二进制组合可以用来唯一地表示 +32768。

总结表格

重要提示：关于“16位”的假设

你问题中的“-32768 到 32767”是16位有符号整数的典型范围。但需要注意的是：

• C++标准并没有规定int类型必须是16位。它只规定了int的最小范围必须至少包含 -32767 到 32767（即至少16位）。

• 在现代大多数系统（如Windows, Linux, macOS on x86-64架构）上，int通常是32位的，其范围是 -2,147,483,648 到 2,147,483,647。

• 你可以通过 sizeof(int) * CHAR_BIT 来检查你当前平台上int的位数。

结论：取值范围的不对称性（-32768 到 32767 而不是到 32768）是二进制补码表示法的直接结果，这种设计使得算术运算（尤其是加法）在硬件层面变得非常简单和统一。