本文涉及知识点

数学

[蓝桥杯 2024 省 Java B] 最优分组

题目描述

小蓝开了一家宠物店，最近有一种 X 病毒在动物之间进行传染，小蓝为了以防万一打算购买测试剂对自己的宠物进行病毒感染测试。

为了减少使用的测试剂数目，小蓝想到了一个好方法：将 $N$ 个宠物平均分为若干组，使得每组恰好有 $K$ 只宠物，这样对同一组的宠物进行采样并混合后用一个试剂进行检测，如果测试结果为阴性则说明组内宠物都未感染 X 病毒；如果是阳性的话则需要对组内所有 $K$ 只宠物单独检测，需要再消耗 $K$ 支测试剂（当 $K=1$ 时，就没必要再次进行单独检测了，因为组内只有一只宠物，一次检测便能确认答案）。

现在我们已知小蓝的宠物被感染的概率为 $p$，请问 $K$ 应该取值为多少，才能使得期望的测试剂的消耗数目最少？如果有多个答案，请输出最小的 $K$。

输入格式

第一行，一个整数 $N$。

第二行，一个浮点数 $p$。

输出格式

输出一行，一个整数 $K$ 表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1000
0.05

样例输出 #1

5

提示

【评测用例规模与约定】

对于 $30\%$ 的评测用例：$1\le N\le 10$。

对于 $60\%$ 的评测用例：$1\le N\le 1000$。

对于 $100\%$ 的评测用例：$1\le N\le 10^6$，$0\le p\le 1$。

枚举

K是1时，直接返回N。
K只宠物一组，阳性的概率ps[k]= 1-( 1- p)^K
一组宠物需要的试剂数：1+ps[k]*K。
枚举K$\in$[1,N] N %K ==0
时间复杂度：O(n) ( 1- p)^K 用递推。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for(int i=0;i < n ;i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

class Solution {
public:
	int Ans(const int N, double p) {
		vector<double> ps(N + 1, 1);
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			ps[i] = ps[i - 1] * (1 - p);
		}
		double need = N;
		int ans = 1;
		for (int i = 2; i <= N; i++) {
			if (0 != N % i) { continue; }
			double curNeed = (1 + (1 - ps[i]) * i) * (N / i);
			if (curNeed < need) {
				need = curNeed;
				ans = i;
			}
		}
		return ans;
	}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	int N; double p;
	cin >> N >> p;
#ifdef _DEBUG		
	//printf("K=%d", K);
	//Out(b, "b=");
	//Out(a, ",a=");
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(N, p);
	cout << res << endl;
	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			auto res = Solution().Ans(1000,0.05);
			AssertEx(5, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。