【C++数据结构进阶】二叉搜索树
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引言
二叉搜索树是实现AVL树和红黑树的基础，掌握它能够为后面的学习打下坚实的基础。
一. 二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 二叉搜索树中可以支持插如入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等 值，multimap/multiset支持插入相等值
二. 二叉搜索树的性能分析
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，但是它是AVL树和红黑树的基础，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适同于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：
- 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数 据。
这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。
三. 二叉搜索树的遍历
二插搜索树的中序遍历恰好是有序的，但是我们平常并不会用二叉搜索树排序
如果我们直接定义一个中序遍历的方法，由于我们无法再类外面访问根节点，所以需要做一些修改
template<class K>
class BSTree
{
// 中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
}有两种方法：
- 在类外写一个GetRoot函数
- 套一层（更推荐)，外面拿不到根，内部可以拿到
template<class K>
class BSTree
{
public:
// 这样外面就不用传参数了，也不用写写一个GetRoot函数了
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
// 中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
}四. 二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插如值比当前结点小往左走，找到空位 置，插入新结点。
- 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插 入新结点。（注意：是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）
代码实现：
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
};
// 不允许插入相等的值
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};五. 二叉搜索树的查找
查找的具体过程如下：
- 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
- 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
- 如果支持持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回
代码实现：
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
// 查找
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};六. 二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩子均为空
- 要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空
- 要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空
- 要删除的结点N左右孩子结点均不为空
对应以上四种情况的解决方案：
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的）
- 如果N节点为根节点，则将其右孩子置为根节点（注：这种情况下图没有画）；不为根节点则判断N节点是父亲的左孩子还是右孩子，然后把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点即可
- 如果N节点为根节点，则将其左孩子置为根节点（注：这种情况下图没有画）；不为根节点则则判断N节点是父亲的左孩子还是右孩子，然后把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点即可
- 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。（注：这里只需判断R节点是父亲的左右孩子即可，因为R节点一定没有左孩子，直接将父亲对应的孩子指针指向R的右孩子即可）
代码实现：
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
// 删除
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
// 先找要删除的节点
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 找到了，删除cur
// cur左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
// cur为根节点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
// cur是父亲的左
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
// cur是父亲的右
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
// cur右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
// cur为根节点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
// 左右均不为空
else
{
// 找右子树的最小节点替代
Node* replaceParent = cur; // 如果要删除根节点，并且下面的循环没进去，那么replace的父节点就是cur
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
// 判断replace是replaceParent的左孩子还是右孩子
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right; // 都是指向右节点，因为左节点一定为空
else
replaceParent->_right = replace->_right; // 都是指向右节点
delete replace;
return true;
}
}
}
return false;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};七. 二叉搜索树key和key/value使用场景
7.1 key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
- 场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
- 场景2：检查⼀篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
7.2 key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改value，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
- 场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
- 场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停⻋时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
- 场景3：统计⼀篇文章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
7.3 key/value二叉搜索树代码实现
key/value场景和key场景的实现十分相似，只是在key的基础上作了一些修改，这里就不在详细分析了。
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>* _left;
BSTreeNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
, _value(value)
{}
};
// 不允许相等的值插入
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
// 插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
// 用查找来提供修改
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur; // 找到了，通过节点的指针修改value
}
}
return nullptr; // 不在
}
// 删除
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 找到了，删除cur
// cur左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
// cur是父亲的左
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
// cur是父亲的右
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
return true;
}
// cur右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
return true;
}
// 左右均不为空
else
{
// 找右子树的最小节点替代
Node* replaceParent = cur; // 如果要删除根节点，并且下面的循环没进去，那么replace的父节点就是cur
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right; // 这里要注意
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
// 中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};使用场景
int main()
{
// 中英互译字典
key_value::BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("insert", "插入");
dict.Insert("tree", "树");
dict.Insert("tree", "树xxx"); // 插入失败
// 类型转换和IO流 加餐
// 内置类型转换为类类型 -> 构造函数
// 类类型转换为内置类型 -> operator内置类型
string str;
// 能做条件逻辑判断的，一定是布尔值
// 还有两种：1、整型 2、指针 会隐式类型转换为布尔值：0是假，非0是真
// 自定义类型作条件逻辑判断，是因为他们重载了类型转换的运算符
int i = 1;
double d = (int)i; // 括号用来强制类型转换，但是括号的重载被仿函数占用了，所以不能再重载这个运算符了
// istream重载了一个类型operator bool，算是特殊处理
// 可以让这里的流转换为1个布尔值，所以istream就可以在这里做判断了
// 原理可以简单理解为，流正常的时候（正常输入），转换成布尔值就是true；状态异常就是false
// while (cin >> str) // 这样写程序如何结束？ // crtl z + 换行
//while((cin >> str).operator bool()) // 显示调用（是返回值调用）
//{
// auto* node = dict.Find(str);
// if (node)
// {
// cout << "->" << node->_value << endl;
// }
// else
// {
// cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
// }
//}
// 统计出现次数
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
key_value::BSTree<string, int> countTree;
for (auto& str : arr)
{
// key_value::BSTreeNode<string, int>* node = dic.Find(str);
auto* node = countTree.Find(str);
// 是第一次出现
if (node == nullptr)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
else
{
node->_value++; // 支持修改value。不能修改key
}
}
countTree.InOrder();
return 0;
}结语
如有不足或改进之处，欢迎大家在评论区积极讨论，后续我也会持续更新C++相关的知识。文章制作不易，如果文章对你有帮助，就点赞收藏关注支持一下作者吧，让我们一起努力，共同进步！
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