【C++数据结构进阶】深度解析AVL树：从底层原理到手撕代码
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前言
在二叉搜索树（BST）中，如果数据有序或接近有序插入，树会退化为单支树，查找效率从 O(\log N) 退化为 O(N)。为了解决这个问题，1962 年 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 发明了 AVL 树 。本文将详细讲解 AVL 树的核心概念、插入逻辑以及旋转机制的 C++ 实现。
一. AVL树的概念
- AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的 左右子树都是AVL树，且左右子树的高度度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。
- AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962 年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
- AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何 结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡， 就像一个风向标一样。
- 思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，二不是高度差是0呢？0不是更 好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，二是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0
- AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。
二. AVL树的实现
2.1 AVL树的的结构
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // balance factor（平衡因子）
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0) // 平衡因子
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
//...
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2 AVL树的插入
2.2.1 插入过程
- 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
- 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点 -> 根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
- 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
- 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。
2.2.2 更新平衡因子
更新规则：
- 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
- 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
- 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--
- parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新停止的条件：
- 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为 -1->0 或者 1->0，说明更新前 parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会 影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
- 更新后parent的平衡因子等于1或 -1，更新前更新中parent的平衡因子变化为 0->1 或者 0->-1，说 明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所 在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向 上更新。
- 更新后parent的平衡因子等于2或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说 明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。因为插入前这棵树肯定是符合要求的。
- 不断更新，更新到根，跟的平衡因子是1或-1也停止了。
综上：先根据平衡因子判断高度变不变，在根据高度是否变化判断是否向上跟新或旋转
2.2.3 插入节点及更新平衡因子代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 按BST的插入方法插入数据
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv); // kv是包含K和V的结构对象
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
// cur->_bf = 0; // 不给也行，因为前面默认给的就是0
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 控制平衡
// 1、更新平衡因子
// 平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度
while (parent) // 二叉树中任意一个节点都有父亲，只有根没有，parent为空，说明更新到了根节点，这时就会结束。即使平衡因子是1/-1，也不会向上更新了
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
// 平衡因子更新后有3种情况
if (parent->_bf == 0)
{
// 1.parent所在的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 2.parent所在的子树高度变了，会影响在上一层，继续向上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 3.parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理（4种旋转）
// 1、右单旋
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent); // 旋转点值parent
}
// 2、左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
// 3、左右双旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
// 4、右左双旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
break; // 旋转之后就不需要继续向上更新了，这棵树就平衡了
}
else
{
assert(false); // 加一个false断言（更保险），如果有断言错误，说明之前这棵树就有问题，我们没有观测到
}
}
return true;
}2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
- 保持搜索树的规则
- 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度旋转总共分为四种：左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点实际中是什么值都可以，只要大小关系符合搜索树的性质即可
2.3.2 右单旋
- 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进行了详细描述。
- 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从 h 变成 h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从 -1 变成 -2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
- 旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入就结束了。
具体情况的几个场景
2.3.3 右单旋代码实现
// 右单旋
void RotateR(Node* parent) // 旋转点
{
Node* subL = parent->_left; // parent的左子树
Node* subLR = subL->_right; // parent左子树的右子树
// b变为10的左边
parent->_left = subLR;
if(subLR)
subLR->_parent = parent; // subLR可能为空
// 记录父节点的父节点
Node* parentParent = parent->_parent;
// 10变为5的右边
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// 让5变为这个树新的根
if (parent == _root) // parent是整棵树根节点
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else // parent是一个局部的子树的根节点，要与上一层链接
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subL;
}
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
// 更新平衡因子
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}2.3.4 左单旋
- 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。
- 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
- 旋转核新步骤，因为10 < b子树的高度 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入就结束了。
2.3.5 左单旋代码实现
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}2.3.6 左右单旋
通过下图可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一次左单旋，以10为旋转点进行一次右单旋，这棵树就平衡了。
上图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论：
- 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
- 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
- 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。
2.3.7 左右单旋代码实现
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
// 记录旋转前的平衡因子，防止旋转后平衡因子变化
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = parent->_left->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 复用
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// 3种情况更新平衡因子
// 1、这个节点就是新增节点
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
// 2、在f插入的
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
// 3、在e插入
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false); // 如果平衡因子出现其他情况，那肯定是其他情况出大问题了，断言一下
}
}2.3.8 右左单旋
跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的 细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单 旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论：
- 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。
- 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。
- 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。
2.3.9 右左单旋代码实现
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}2.4 AVL树的查找
用二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}2.5 AVL树的平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查一下结点的平衡因子更新是否出现了问题。
template<class K,class V>
class AVLTree
{
public:
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
// 外面不方便传根节点，所以套一层
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root);
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
int Size()
{
return _Size(_root);
}
private:
int _Size(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
// 算高度
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 左右子树中高度更高的子树高度加1
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的高度差
int lh = _Height(root->_left);
int rh = _Height(root->_right);
// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树
if (rh-lh != root->_bf || abs(root->_bf) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
// 中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};总结
AVL 树通过引入平衡因子和旋转机制，完美解决了二叉搜索树在极端数据下的退化问题。
-
优点：严格平衡，查找效率极高，稳定在 $O(\log N)$。
-
缺点：插入和删除时需要频繁进行旋转维护平衡，实现较为复杂。
结语
文章如有不足或改进之处，欢迎大家在评论区积极讨论，后续我也会持续更新C++相关的知识。文章制作不易，如果文章对你有帮助，就点赞收藏关注支持一下作者吧，让我们一起努力，共同进步！
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