BellmanFord算法、多源最短路与矩阵相乘

BellmanFord算法与动态规划

相信看到这篇的读者已经对BellmanFord算法有了详细的认识。在这里我就不再赘述了，直接讨论与动态规划的关系。

我们定义$l_x^m$为从源节点到节点x且最多经过m条边的最短路径的距离，为了构建动态规划的状态转移方程，我们必须分析$l_x^{m-1}$与$l_x^m$的关系。

为了从$l_x^{m-1}$递推到$l_x^m$，我们有两个选择。第一，继承上一个状态的值，即$l_x^{m-1}$就是$l_x^m$。第二，存在一个中间节点k，使得$l_k^{m-1}+w_{kx}$是最小路径距离。两者取最小值即可。最后，我们构建出动态规划方程：

lxm=min⁡1≤k≤n{lkm−1+wkx} l_{x}^{m} = \min_{1 \leq k \leq n}\{ l_{k}^{m-1} + w_{kx} \} lxm​=1≤k≤nmin​{lkm−1​+wkx​}

其中$w_{kx}$指的是边$(k,x)$的权值。

接下来我们就可以自底向上的进行递推了，我们定义$l^0$这个数组为，除了$l_s^0$为0外其余均为$\infty$，这也符合最多经过0条边的定义。那我们递推多少次呢，我们来考虑一个最坏情况，那就是一条最短路径包含了图中的所有节点，又因为最短路是一条简单路，因此最多含有$|V|-1$条边。因此，我们只需要递推到$l^{|V|-1}$即可，即递推$|V|-1$次。

怎么样？是不是对BellmanFord的理解又近了一步。我们继续往下分析。

BellmanFord算法与矩阵向量相乘

BellmanFord与矩阵向量相乘有什么关系呢？我们做一个替换，把$l^m$看成是一个向量，把$w_{ij}$看成是一个矩阵，我们得到$l^m$的过程就是向量$l^{m-1}$与矩阵$w_{ij}$的操作。我们再进行一次替换，把算子$\min$替换成加法算子，把加法算子$+$替换成乘法算子$\times$，我们改写我们的动态规划方程：

$$l_x^m=\sum _{1\le k\le n}{l}_k^{m-1}\times w_{kx}$$

怎么样，是不是就是矩阵与向量相乘了。

因此，我们定义向量$l^m$叫最短距离向量，我们把矩阵$w_{ij}$称为权值矩阵。把$l^0$称为零最短距离向量，把$l^1$称为单位最短距离向量。

多源最短路与动态规划

我们继续BellmanFord的算法的思想，能不能扩展到多源最短路呢？答案是肯定的，聪明的读者已经想到了，把向量$l_x^m$改为矩阵$l_{ij}^m$表示从节点i到节点j最多经过m条边的最短路径。有了上面的经验，我们的动态规划方程就很好写出了：

lijm=min⁡1≤k≤n{likm−1+wkj} l_{ij}^{m} = \min_{1 \leq k \leq n}\{ l_{ik}^{m-1} + w_{kj} \} lijm​=1≤k≤nmin​{likm−1​+wkj​}

有了这个方程，我们就可以递推了。同理，定义$l_{ij}^0$为当$i=j$时为$0$，否则为$\infty$。特别的，$l_{ij}^1=G_{ij}$，其中$G_{ij}$是我们的邻接矩阵。因此，如果我们知道我们的邻接矩阵，就可以从$l_{ij}^1$开始递推，而不必从$l_{ij}^0$开始。同样的分析方式，也是递推$|V|-1$次。

多源最短路与矩阵相乘

我们也做一个替换，把$l^m$看成是一个矩阵，把$w_{ij}$看成是一个矩阵，我们得到$l^m$的过程就是矩阵$l^{m-1}$与矩阵$w_{ij}$的操作。我们再进行一次替换，把算子$\min$替换成加法算子，把加法算子$+$替换成乘法算子$\times$，我们改写我们的动态规划方程：

lijm=∑1≤k≤n{likm−1×wkj} l_{ij}^{m} = \sum_{1 \leq k \leq n}\{ l_{ik}^{m-1} \times w_{kj} \} lijm​=1≤k≤n∑​{likm−1​×wkj​}

怎么样？是不是就变成矩阵相乘了。因此，我们定义向量$l^m$叫最短距离矩阵，我们把矩阵$w_{ij}$称为权值矩阵。把$l^0$称为零最短距离矩阵，把$l^1=G_{ij}$称为单位最短距离矩阵。

最终，我们给出松弛的概念，像上面这样，通过一个最短距离矩阵（向量）和权值矩阵进行计算得出下一个状态的最短距离矩阵（向量），我们称这个计算为松弛。

多源最短路与矩阵快速幂

可以由数学证明，算子松弛也具矩阵相乘的线性相关性。因此我们能不能使用矩阵快速幂的思维，改进我们的算法呢？

我们通过归纳总结得出：（定义算子$\cdot$为松弛算子而不是矩阵相乘）

$$\begin{gathered} l^1=W \\ {l}^2=W\cdot l^1=W\cdot W=W^2 \\ {l}^3=l^2\cdot W=W^3 \\ {l}^4=l^2\cdot l^2=W^4 \\ \dots \end{gathered}$$

因此，我们就可以通过矩阵快速幂的思维改进我们的算法了。

总结

由此可见，线性代数中矩阵乘法与图论中最短路问题有着抽象的关系，给出我最喜欢的名言总结此文：

Abstractness is the price of generality.