Sprague-Grundy()函数与简单博弈论

简单博弈论公平组合游戏 ICG若一个游戏满足:由两名玩家交替行动;2.在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关;3.不能行动的玩家判负;则称该游戏为一个公平组合游戏。NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子,胜负判定也比较复杂.NIM尼莫游戏给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一

Henry_WYH

284人浏览 · 2021-07-13 18:31:40

Henry_WYH · 2021-07-13 18:31:40 发布

简单博弈论

公平组合游戏 ICG

若一个游戏满足:

由两名玩家交替行动;
2.在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关;

3.不能行动的玩家判负;
则称该游戏为一个公平组合游戏。

 NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子,胜负判定也比较复杂.

NIM尼莫游戏

给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光,但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略,问先手是否必胜

我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手, 第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动,都会输掉游戏,则称该状态为必败态。如果当前状态可以转化为必败态，则为必胜态。

所谓采取最优策略是指，若在某-局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理: NIM博弈先手必胜，当且仅当
$A_{1} \oplus A_{2} \oplus .. \oplus A_{n} != 0\ \ \ \ \ \ (\oplus为异或)$

有向图游戏

给定一个有向无环图,图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步,无法移动者判负。该游戏成为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是,把每个局面看成图中的一个节点，并诅从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex运算

设S表示一个领整数集合。
定义mex(S)为求出不属于集合S的最小负整数的运算,即:
$\ \ \ \ x\in N \ 且 \ x \notin S$
mex运算与SG函数的对应关系是：
$SG(A)=mex\{ SG(B)|A\rightarrow B \}$
简单来说：一个状态的SG数等于它的次态取不到的最小的SG数*

SG函数

在有向图游戏中，对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, … yk,定义SG()为x的后继节点y1, y2, … yk的SG函数值构成的集合:
$SG(x)=mex(\ \{SG(y_{1}),SG(y_{2})...SG(y_{k})\}\ )$

操作方法：

终点状态设置为0
每个点的未知是有向图中所能走到的数中不存在的最小的非负数
如果起点非0,必胜；如果起点为0，必败；

多张有向图游戏的和

设G1, G2, … Gm是m个有向图游戏。定义有向图游戏G,它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi,并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, … Gm的

有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即:
$SG(G)=SG(G_{1}) \oplus SG(G_{2}) \oplus ...\oplus SG(G_{m})$

操作方法：

对于一个由多张有向图构成的游戏，我们在判断胜负的时候只需要判断每一张图的起点
$SG(G^{''})=SG(x_{1}) \oplus SG(x_{2}) \oplus ...\oplus SG(x_{m})\ \ ?=\ 0$
如果最终异或和为0，说明必败；否则，必胜。

SG函数模板

int SG(int x){
    if(sg[x]!=-1) return sg[x]; //如果之前已经记录此数的SG函数，直接返回
    unordered_set<int> ds;  //用哈希表记录出现过的每一个数
    
    for(int i=1;i<=k;i++)    //枚举有向图的每一个分支
        if(num[i]<=x) ds.insert(SG(x-num[i]));
    
    for(int i=0;;i++)   //检查每一个数是否出现过
        if(!ds.count(i))
            return sg[x]=i;  //最后返回的时候记录一下，即记忆化减少时间复杂度
}