模型

一阶多智能体的运动学方程可以描述为
x˙i(t)=ui(t),i∈{1,2,3,…,N} \dot x_i(t) = u_i(t),i\in\{1,2,3,\dots,N\} x˙i​(t)=ui​(t),i∈{1,2,3,…,N}
其中$x_i(t)$为状态，$u_i(t)$为控制量，最终期望的结果为
$$\underset{t\to T}{\lim }|x_i(t)-x_j(t)|=0$$

$$|x_i(t)-x_j(t)|=0,\forall t\ge T$$

其中上式中第一个等式表示在时间趋近于$T$的时候，智能体的状态趋于一致。第二个等式表示在时间超过$T$的时候智能体的时间已经保持一致。

算法

在上一篇文章中我们构建了一个分布式的协同一致性算法，在本节中，我们构建一个leader-follower结构的协同一致性算法。其中leader的状态是leader算法设计的，设leader的编号为1，设leader的控制量为
$$u_1(t)=u_1$$
follower的控制量可以设计为（这里设计了一个最简单的纯p控制）：
$$u_i(t)=-k\sum _{j=1}^N{a}_{ij}(x_i(t)-x_j(t))$$
在leader-follower结构中有一个假设，leader到每一个follower都是可达的，即leader的信息可以被广播在follower中。

仿真

设置智能体的初始状态为
$$x=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& -3\end{array}\right]$$
智能体的连接为

智能体1 --- 智能体2
  |    \      |
  |      \    | 
智能体4 --- 智能体3

那么拉普拉斯矩阵为
$$L=\left[\begin{array}{cccc}3& -1& -1& -1\\ -1& 2& -1& 0\\ -1& -1& 3& -1\\ -1& 0& -1& 2\end{array}\right]$$
leader的控制量为 $u_1=-x_1$

仿真代码为(matlab)

clc;clear;close all;

x = [1 2 3 -3];
u = [];
A = [0 1 1 1;
     1 0 1 0;
     1 1 0 1;
     1 0 1 0;];
B = [3 0 0 0;
     0 2 0 0;
     0 0 3 0;
     0 0 0 2;];
L = B - A;
dt = 0.001;
k = 2;
k_1 = 3;

for i = 1:4000
	% follower 控制量
    u1 = - k.* (x(end,:) * L);
    % leader控制量
    u1(1) = - k_1 .* x(end,1);
    % 状态更新
    x1 = x(end,:) + u1 * dt;

    u = [u;u1];
    x = [x;x1];
end

画出控制量的曲线以及状态量曲线

Fig1 = figure(1);
plot(0.001:0.001:4.001,x,'LineWidth', 1.5);
xlabel('t');
ylabel('x');
legend('agent1','agent2','agent3','agent4');
print(Fig1,'x','-dpng','-r600')

Fig2 = figure(2);
plot(0.001:0.001:4.000,u,'LineWidth', 1.5);
xlabel('t');
ylabel('u');
legend('agent1','agent2','agent3','agent4');
print(Fig2,'u','-dpng','-r600')

状态变量的随时间变化图为

控制量随时间变化图为

可以看到，最终四个智能体的状态全部归于一致。