一、EMA 简介

1、演化

• 算术平均（权重相等）—>加权平均（权重不等）—>移动平均（大约是只取最近的 N 次数据进行计算）—> 批量归一化(BN)及各种优化算法的基础
• EMA：是以指数式递减加权的移动平均，各数值的加权影响力随时间呈指数式递减，时间越靠近当前时刻的数据加权影响力越大

2、公式及理解

• vt=βvt−1+(1−β)θt v t = β v t − 1 + ( 1 − β ) θ t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta)\theta_{t}</script>，公式中 θt θ t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">\theta_{t}</script> 为 t 时刻的实际温度；系数 β β <script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">\beta</script> 表示加权下降的快慢，值越小权重下降的越快； vt v t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">v_t</script> 为 t 时刻 EMA 的值。
• 当 v0=0 v 0 = 0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">v_0 = 0 </script> 时，可得： vt=(1−β)(θt+βθt−1+β2θt−2+...+βt−1θ1) v t = ( 1 − β ) ( θ t + β θ t − 1 + β 2 θ t − 2 + . . . + β t − 1 θ 1 ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">v_t = (1-\beta) (\theta_{t}+\beta\theta_{t-1}+\beta^{2}\theta_{t-2}+ ... +\beta^{t-1}\theta_{1})</script>，从公式中可以看到：每天温度( θ θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">\theta</script>)的权重系数以指数等比形式缩小，时间越靠近当前时刻的数据加权影响力越大。
• 在优化算法中，我们一般取 β>=0.9 β >= 0.9 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">\beta >= 0.9</script>，而 1+β+β2+...+βt−1=1−βt1−β 1 + β + β 2 + . . . + β t − 1 = 1 − β t 1 − β <script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">1 + \beta + \beta^{2} + ... + \beta^{t-1} = \frac{1-\beta^{t}}{1-\beta}</script>，所以当 t 足够大时 βt≈0 β t ≈ 0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">\beta^{t} \approx 0</script>，此时便是严格意义上的指数加权移动平均。
  
• 在优化算法中，我们一般取 β>=0.9 β >= 0.9 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">\beta >= 0.9</script>，此时有 β11−β≈1e≈0.36 β 1 1 − β ≈ 1 e ≈ 0.36 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">\beta^{\frac{1}{1-\beta}} \approx \frac{1}{e} \approx 0.36</script>，也就是说 N=11−β N = 1 1 − β <script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">N = \frac{1}{1-\beta}</script> 天后，曲线的高度下降到了约原来的 13 1 3 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">\frac{1}{3}</script>，由于时间越往前推移 θ θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">\theta</script> 权重越来越小，所以相当于说：我们每次只考虑最近(latest) N=11−β N = 1 1 − β <script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">N = \frac{1}{1-\beta}</script> 天的数据来计算当前时刻的 EMA，这也就是移动平均的来源。

二、EMA 偏差修正

• 在 β=0.98 β = 0.98 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">\beta = 0.98</script> 时，理想状况下，我们应该能得到绿色曲线，然而现实我们得到的却是紫色曲线，它的起点比真实的要低很多，不能很好的估计起始位置的温度，此问题称为：冷启动问题，这是由于 v0=0 v 0 = 0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">v_0 = 0 </script> 造成的。
• 解决方案：将所有时刻的 EMA 除以 1−βt 1 − β t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">1 - \beta^{t}</script> 后作为修正后的 EMA。当 t 很小时，这种做法可以在起始阶段的估计更加准确；当 t 很大时，偏差修正几乎没有作用，所以对原来的式子几乎没有影响。注意：我们一般取 β>=0.9 β >= 0.9 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">\beta >= 0.9</script>，计算 t 时刻偏修正后的 EMA 时，用的还是 t−1 t − 1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-23">t-1</script> 时刻修正前的EMA。

三、EMA 的优点及其应用理解

1、EMA 的优点

• 它占用极少内存：计算指数加权平均数只占用单行数字的存储和内存，然后把最新数据代入公式，不断覆盖就可以了。
• 移动平均线能较好的反应时间序列的变化趋势，权重的大小不同起到的作用也是不同，时间比较久远的变量值的影响力相对较低，时间比较近的变量值的影响力相对较高。

2、EMA 在 Momentum 优化算法中应用的理解

• 假设每次梯度的值都是 g g <script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">g</script>、γ=0.95 $\gamma =0.95$<script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">\gamma = 0.95</script> ，此时参数更新幅度会加速下降，当 n 达到 150 左右，此时达到了速度上限，之后将匀速下降（可参考一中的公式理解）。
• 假如，在某个时间段内一些参数的梯度方向与之前的不一致时，那么真实的参数更新幅度会变小；相反，若在某个时间段内的参数的梯度方向都一致，那么其真实的参数更新幅度会变大，起到加速收敛的作用。在迭代后期，由于随机噪声问题，经常会在收敛值附近震荡，动量法会起到减速作用，增加稳定性。
  

四、参考资料

1、Coursera：Exponentially-Weighted-Moving-Averages
2、Gluon：优化算法中关于 EMA 的讲解
3、优化算法之指数移动加权平均